Deret Geometri: Definisi, Rumus, Contoh, dan Latihan Soalnya

Deret Geometri – Pembahasan materi tentang barisan dan deret aritmatika, pasti akan dipelajari beriringan dengan materi barisan deret geometri. Meskipun terlihat sama, tetapi dua materi tersebut memiliki karakteristik dan rumus tersendiri.

Hal pembeda antara barisan dan deret aritmatika dengan barisan dan deret geometri adalah polanya. Jika pada aritmatika menggunakan pola penambahan, maka pada geometri menggunakan pola perkalian. Nah, seperti materi pada cabang ilmu lainnya, semakin naik tahap pembahasannya, maka akan semakin sulit pula. Namun jangan khawatir, sebab Grameds akan tetap memahami itu semua jika mengerti konsep rumusnya.

Lantas, apa sih deret geometri itu? Bagaimana konsep rumus dari deret geometri ini? Bagaimana pula contoh soal mengenai deret geometri dan pembahasannya? Nah, supaya Grameds tidak bingung akan hal-hal tersebut, yuk segera simak ulasannya berikut ini!

Apa Itu Deret Geometri?

Menurut ruangguru, deret geometri adalah yang bentuknya seperti barisan geometri, tetapi ditulis dalam bentuk penjumlahan. Rasio pada deret geometri tersebut disimbolkan dengan r. Contoh sederhana dari deret geometri adalah: 1 + 4 + 16 + 64 + 256,….

Yap, hal yang membedakan antara barisan geometri dengan deret geometri adalah cara penulisan susunannya. Jika pada barisan geometri, angka-angka dipisahkan menggunakan tanda koma (,), maka pada deret geometri menggunakan tanda penambahan (+). “Itulah mengapa, definisi dari deret geometri adalah penjumlahan dari masing-masing suku dari suatu barisan geometri.”

Supaya lebih paham, perhatikan penulisan pola susunan baku barisan geometri dan deret geometri berikut ini!

Barisan geometri: a, ar, ar2 , ar3 , …, arn – 1

Deret geometri: a + ar + ar2 + ar3 + … + arn – 1

Nah, berdasarkan berbagai sumber dapat disimpulkan akan hal-hal mengenai deret geometri, yakni.

• Deret geometri adalah jumlahan dari suku-suku yang ada pada barisan geometri.
• Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga (mulai dari n suku pertama).
• Simbol yang digunakan adalah Sn, artinya jumlah n suku pertama.

Contoh lain dari deret geometri adalah:

S₁ = U₁ (jumlah 1 suku pertama)

S₂ = U₁ + U₂ (jumlah 2 suku pertama)

S₃ = U₁ + U₂ + U₃ (jumlah 3 suku pertama)

S₄ = U₁ + U₂ + U₃ + U4 (jumlah 4 suku pertama) 

dan seterusnya.

Memahami Apa Itu Deret Geometri Tak Hingga

Pembahasan deret geometri pasti akan berkaitan pula dengan deret geometri tak hingga yang tentu saja penjumlahannya akan sampai suku ke tak hingga. Jumlah deretnya pun masih mengikuti deret geometri. Berhubung deret geometri ini tak hingga, maka akan menggunakan lambang ∞ alias infinity (tak hingga).

Rumus Deret Geometri

Rumus pada deret geometri ini tentunya berbeda ya dengan rumus untuk deret aritmatika, bahkan dengan rumus deret geometri tak hingga sekalipun. Sebab, ketiga hal tersebut walaupun sama-sama bernamakan “deret”, tetapi definisi dan rumusnya tetap akan berbeda. Berikut ini adalah rumus untuk menghitung deret geometri!

Deret naik (r > 1)

Deret turun (r < 1)

Keterangan:

Sn = Jumlah suku ke – n dari deretan geometri

a = Suku pertama

r = Rasio

Pembuktian Rumus Deret Geometri

Berikut ini adalah pembuktian rumus deret geometri, khususnya pada deret turun untuk r < 1.

⇔ Sn = U₁ + U₂ + U₃ + U4 + … + Un

⇔  =  a + ar + ar² + ar³ + …+ ar^n-1 ……………………… (1)

Nah, dari persamaan (1) tersebut, semua suku akan dikalikan dengan r, maka menjadi:

⇔ r.S_n = r (U₁ + U₂ + U₃ + U4 + … + Un )

⇔ = r ( a + ar + ar² + ar³ + …+ ar^n-1)

⇔  = a + ar + ar² + ar³ + …+ arⁿ ………………… (2)

Lalu, dari persamaan (1) dan (2) tersebut, akan diperoleh penghitungan berikut ini:

S_n = a + ar + ar² + ar³ + …+ ar^n-1

r.S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴+….. + arⁿ

————————————————————— –

S_n – r.S_n = a + (-arⁿ )

(1-r) S_n = a – arⁿ

Sehingga akan diperoleh rumus:

Contoh Soal Deret Geometri dan Pembahasannya

Contoh Soal 1

1. Tentukan jumlah 9 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …

Penyelesaian:

Diketahui: a = 3

Ditanya: S₉

Jawab:

Contoh Soal 2

2. Seutas tali dibagi menjadi 6 bagian dengan ukuran panjang membentuk deret geometri; jika bagian yang paling pendek 3 cm dan yang terpanjang 96 cm, tentukanlah ukuran panjang tali tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui: Un = 96; a = 3; n = 6

Ditanya: S₇

Jawab:

Un = ar^n-1

⇔ 96 = 3 . r₅

⇔ r₅ = 32

⇔ r = 2

Karena r > 1, maka rumus penghitungan yang berlaku adalah

Jadi, ukuran panjang tali tersebut adalah 189 cm.

15+ Latihan Soal Deret Geometri

1. Diketahui barisan √3 , 3, 3√3 , … Suku ke 9 adalah …

A. 81√3

B. 81

C. 243

D. 613√3

E. 729

2. Suatu barisan geometri diketahui suku ke 3 adalah 3 dan suku ke 6 adalah 81. Maka suku ke 8 adalah …

A. 729

B. 612

C. 542

D. 712

E. 681

3. Diketahui barisan 2, 2 2 , 4, 4 2 , … Suku keberapakah 64√2 ?

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15

4. Jumlah 5 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + … adalah …

A. 62

B. 84

C. 93

D. 108

E. 152

5. Jumlah n suku pertama deret geometri dinyatakan dengan Sn = 2n+2 – 3. Rumus suku ke-n adalah…

A. . 2n–1

B. 2n+1

C. 2 n+3

D. . 2n–3

E. 2n

6. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah …

A. 368

B. 389

C. 378

D. 379

E. 384

7. Diketahui empat bilangan, tiga bilangan pertama merupakan barisan aritmatika dan tiga bilangan terakhir merupakan barisan geometri. Jumlah bilangan kedua dan keempat adalah 8. Jumlah bilangan pertama dan ketiga adalah 18. Jumlah keempat bilangan tersebut adalah…

A. 28

B. 31

C. 44

D. 52

E. 81

9. Seutas tali dipotong menjadi 8 bagian. Panjang masing-masing potongan tersebut mengikuti barisan geometri.Panjang potongan tali yang paling pendek adalah 4 cm dan Panjang potongan tali yang paling Panjang adalah 512 cm. Panjang tali semula adalah … cm

A. 512

B. 1020

C. 1024

D. 2032

E. 2048

10. Diketahui deret berikut : 3 + 9 + 27 + 81 + …

1.  Tentukan suku ke – 8 pada deret tersebut!
2. Tentukan jumlah 8 suku yang pertama pada deret tersebut!

11. Bakteri berkembang biak dengan membelah diri setiap 30 menit. Jika banyaknya bakteri adalah 200, hitung banyaknya bakteri yang akan tumbuh setelah 12 jam dan setelah 24 jam!
12. Hitunglah jumlah deret geometri: 3 + 6 + 12 + …. + 384

Memahami Apa Itu Barisan Aritmatika

Apa Rumus Barisan Aritmatika?

Perlu diketahui ya Grameds bahwa rumus barisan aritmatika dan deret aritmatika itu berbeda, walaupun keduanya merupakan sub bab dari materi yang sama. Nah, berikut ini adalah rumus untuk menghitung barisan aritmatika.

Un = a + (n – 1)b

Keterangan:

a = U1 = suku pertama yang terdapat pada barisan aritmatika

b = beda barisan aritmatika = Un – Un-1, dengan catatan bahwa n adalah banyaknya suku

n = jumlah suku

Un = jumlah suku ke-n

Rumus Untuk Mencari Beda Pada Barisan Aritmatika

b = Un – Un-1

Keterangan:

b = beda barisan aritmatika

Un = suku ke-n

Un-1 – suku ke-n-1

Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Pembahasannya

Contoh Soal 1

Carilah suku ke-100 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, …

Pembahasan:

a = 2

b = u2 – u1 = 5 – 2 = 3

n = 100 un = a + (n – 1)b

un = 2 + (100 – 1)3 = 2 + (99 x 3) = 299

Contoh Soal 2

Diketahui barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, …. un = 225. Tentukan banyaknya suku (n).

Penyelesaian:

a = 1, b = 2, un = 225

un = a (n – 1)b

225 = 1 + (n – 1)2 = 1 + 2n – 2

226 = 2n

n = 113

Contoh Soal 3

Si Dadap berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai 1 Januari 2008 ia menerima uang saku sebesar Rp. 500.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp. 25.000. Berapa besar uang saku yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011?

Penyelesaian:

Triwulan ke-1: u1 = a = Rp. 500.000,00

Triwulan ke-2: u2 = a + b = Rp. 525.000,00, dst

Jadi b = 25.000.

Pada awal tahun 2011 telah dipakai kuliah selama 3 tahun atau 12 triwulan, berarti: u12 = a + (12 – 1)b = 500.000 + (11 x 25.000) = 775.000

Jadi besarnya uang yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011 adalah Rp. 775.000,00.

Contoh Soal 4

Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmetika adalah 6 dan suku kelimanya 18, tentukan pembedanya.

Penyelesaian: 

Diketahui a = 6, dan U5 = 18

Un = a + ( n – 1) b

U5 = 6 + (5 – 1) b

18= 6 + 4b

4b = 12

b = 3

Jadi pembedanya adalah 3.

Contoh Soal 5

Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmetika : 17, 15, 13, 11,…

Penyelesaian: 

Diketahui a = 17, b = -2, dan n = 21,

maka U21 = 17 + (21-1)(-2) = -23 

Jadi, suku ke-21 dari barisan aritmatika tersebut adalah -23

Contoh Soal 6

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Penyelesaian:

Diketahui: a = 7

b = –2

Ditanya 𝑈40 ?

Jawab:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏

𝑈40 = 7 + (40 − 1) (−2)

= 7 + 39 x (-2)

= 7 + (-78) = – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Contoh Soal 7

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan: 

Diketahui: a = 5 b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 𝑏

= 5 + (𝑛 − 1)(−7)

= 5 − 7 𝑛 + 7

= 12 − 7 𝑛

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 𝑈𝑛 = 12 − 7𝑛

Contoh Soal 8

Dalam suatu gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan: 

Diketahui:

a = 12

b = 2

Ditanyakan 𝑈20 ?

Jawab:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

𝑈20 = 12 + (20 − 1)(2)

= 12 + 19 . (2)

= 12 + (38) = 50

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi

Contoh Soal 9

Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, ….adalah …

Penyelesaian:

a = 3, b = 2,

U10 = (a + 9b)

U10 = 3 + 18 = 21

Contoh Soal 10

Suatu barisan 2, 5, 10, 17, …. memenuhi pola Un = an2 + bn + c. Suku ke 9 dari

barisan itu adalah…

Penyelesaian

Diketahui :

Barisan 2, 5, 10, 17, …

𝑈𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐

Ditanyakan : 𝑈9 = ⋯ ?

Jawab:

𝑈𝑛 = (1)𝑛² + (0)𝑛 + 1

𝑈𝑛 = 𝑛2 + 1

𝑈9 = 92 + 1

𝑈9 = 82

Sumber:

Dhoruri, Atmini. Barisan dan Deret Bilangan.

Istiqomah. (2020). Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum: Barisan dan Deret Kelas XI. Kemdikbud. SMA Negeri 5 Mataram.

Karso, H. Barisan dan Deret (Pembelajaran Matematika SMA). FMIPA UPI.

Baca Juga!

• Pengertian Deret Aritmatika Beserta Rumus dan Contoh Soalnya
• Apa Itu Operasi Perkalian Bilangan Bulat?
• Pengertian, Rumus, dan Contoh Barisan Aritmatika!
• Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Pembuktiannya
• Cara Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Bentuk Desimal
• Himpunan: Pengertian, Sejarah, Jenis, dan Cara Menyatakannya 
• Apa Itu Interval Turun?
• Rumus Turunan Fungsi Trigonometri