Rumus Sumbu Simetri dengan Contoh Soal dan Pembahasannya!

Rumus Sumbu Simetri – Berapa kali kamu bercermin dalam satu hari untuk memastikan penampilanmu sudah rapi, bersih, cantik, atau ganteng? Sudah sepatutnya kita mengucapkan terima kasih kepada Justus Liebig, penemu cermin pantul pertama kali. Berkat dia, kita bisa melihat wajah sendiri secara jelas, tanpa perbedaan sedikitpun.

Keadaan ini adalah gambaran peristiwa pencerminan atau refleksi. Dalam ilmu matematika, cermin dianggap sebagai garis atau sumbu yang dapat menunjukkan bahwa jarak antara kita dan cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin. Dengan kata lain, bayangannya simetris. Nah, dalam artikel kali ini, kita akan membahas tentang pengertian simetris, sumbu simetri dalam bangun datar dan fungsi kuadrat beserta rumus dan contohnya.

Apa Itu Simetris?

Coba kamu lihat gambar kupu-kupu tersebut, indah, ya? Tahukah kamu bahwa kupu-kupu merupakan salah satu hewan yang bentuknya simetris? Ketika hewan ini merapatkan sayanya, kedua sayap tersebut akan berhimpitan secara tepat, sehingga kalau dilihat dari pinggir, seolah-olah dia hanya punya satu sayap saja.

Kenapa bisa begitu? Alasannya karena bagian kiri kupu-kupu sama dengan bagian kanannya. Inilah yang dimaksud dengan simetris. Sekarang, coba kamu lihat gambar persegi di bawah ini:

Kalau gambar ini dilipat, kedua bagiannya akan berhimpitan satu sama lain dan meninggalkan garis di tengahnya. Nah, garis yang ada di tengah itu disebut juga sebagai sumbu simetri atau garis simetri dan setiap benda yang bentuknya simetris selalu punya sumbu simetri.

Di sekolah, kita belajar mengenai sumbu simetri dalam pelajaran matematika, khususnya materi tentang bangun datar dan fungsi kuadrat. Namun banyak orang yang sampai sekarang masih kurang mengerti tentang sumbu simetri ini.

Pengertian Sumbu Simetri

Dari penjelasan sebelumnya, bisa disimpulkan bahwa sumbu simetri merupakan sebuah garis lurus yang bisa membagi sebuah benda menjadi beberapa bagian yang sama besar atau simetris. Bisa jadi dua, empat, enam, bahkan ratusan bagian.

Sumbu Simetri pada Bangun Datar

Misalnya pada bangun datar, sumbu simetri bisa digunakan untuk membagi beberapa bangun datar. Alasannya karena pada prinsipnya, simetri adalah transformasi yang diaplikasikan pada media bangun datar. Dalam buku Bangun Datar & Bangun Ruang yang ditulis oleh Dewi Djuwita dijelaskan bahwa ada dua jenis simetri dalam bangun datar, yaitu simetri lipat dan juga simetri putar.

Simetri Lipat

Simetri lipat bisa dikatakan sebagai sebuah bangun datar yang jika dilipat maka bagian kiri dan kanannya berhimpitan secara tepat atau dikenal dengan simetri lipat. Di bagian tengahnya terlihat sebuah garis lurus yang disebut sumbu simetri. Pada bangun datar, jumlah simetri lipat akan sama dengan jumlah sumbu simetrinya.

Bangun Datar dengan Sumbu Simetri

Ada banyak bangun datar yang memiliki sumbu simetri, di antaranya adalah lingkaran, persegi panjang, segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi, persegi, belah ketupat, serta layang-layang. Biar lebih jelas lagi, baca informasi lengkapnya di bawah ini, ya!

Lingkaran

Lingkaran merupakan bangun ruang yang menjadi tempat kedudukan beberapa titik yang memiliki jarak sama pada satu titik tetap, yaitu pusat lingkaran. Selain itu, lingkaran juga mempunyai unsur-unsur lainnya, seperti:

a. Diameter

Diameter merupakan garis tengah yang berupa busur terpanjang pada lingkaran. Ada juga yang menyebutnya sebagai tali busur yang melewati pusat lingkaran (titik AB pada gambar di atas).

b. Jari-jari

Jari-jari adalah setengah dari diameter lingkaran atau garis tengah lingkaran. Perhatikan gambar di atas, titik OA, OB, OC, dan OD merupakan jari-jari yang jaraknya sama (OA = OB = OC = OD).

c. Busur

Busur merupakan tali yang membagi sebuah lingkaran menjadi dua, yaitu busur besar dan busur kecil. Titik CB, CD, atau DA dalam gambar di atas merupakan busur.

• Busur besar mempunyai panjang lebih dari setengah keliling lingkaran
• Sementara busur kecil panjangnya kurang dari setengah lingkaran.

d. Tali Busur

Tali busur adalah garis yang menghubungkan dua titik pada sebuah lingkaran. Seperti AC dan AD dalam gambar di atas.

e. Juring

Juring dalam lingkaran merupakan daerah yang dibatasi dua jari-jari serta busur lingkaran, seperti daerah OCBDO pada gambar di atas. Juring juga dibedakan menjadi 2, pertama juring besar yang dibatasi dua jari-jari serta busur besar, kedua juring kecil yang dibatasi dua jari-jari serta busu kecil.

f. Tembereng

Tembereng merupakan daerah yang dibatasi tali busur serta busur lingkaran atau daerah AD dengan busur pada gambar.

g. Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang juga jari-jari dan menghadap ke busur kecilnya (sudut COD)

h. Sudut Keliling

Sudut keliling yaitu sudut yang titik sudutnya ada pada keliling lingkaran lalu kaki-kaki sudutnya ada di dalam lingkaran (sudut CAD)

i. Sumbu Simetri Tak Terbatas

Lingkaran merupakan satu-satunya bangun datar yang memiliki sumbu simetri tidak terbatas.

Persegi Panjang

Persegi panjang merupakan bangun datar yang memiliki 4 buah sisi sebagai batasannya. Masing-masing sisi saling berhadapan (AB = DC & AB // DC) dan bersebelahan (AD = BC & AD // BC). Sisi-sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama. Sedangkan sisi-sisi yang bersebelahan saling tegak lurus. Disamping itu, persegi panjang juga mempunya sifat-sifat lain, seperti:

• Dibatasi 4 buah sisi.
• Memiliki 4 buah sudut siku-siku (sudut ABC, sudut CDA, sudut DAB, dan sudut BCD)
• Memiliki 2 buah sumbu simetri, yaitu:
  • Garis KM yang melewati tengah-tengah AD dan BC
  • Garis LN yang melewati tengah-tengah AB dan DC
• Punya 2 garis diagonal yang panjangnya sama dan berpotongan di titik P, yaitu garis BD dan AC
• Punya 2 buah simetri putar

Segitiga Sama Kaki dan Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama kaki merupakan bangun datar dengan panjang sisi satunya sama dengan sisi lainnya, dan sudut yang satu sama dengan sudut lainnya (AC = AB, sudut ABC = sudut CAB).

Sedangkan segitiga sama sisi merupakan segitiga yang panjang ketiga sisinya sama serta mempunyai satu sudut sebesar 60°.

Sifat-sifat segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi adalah:

1. Memiliki 1 buah sumbu simetri, yaitu garis CD untuk segitiga sama sisi dan poin a, b, dan, c untuk segitiga sama kaki.
2. Dibatasi oleh 3 buah sisi yang panjangnya berbeda
3. Memiliki 3 buah sudut yang tidak sama besarnya
4. Memiliki 2 buah sisi yang saling tegak lurus
5. Memiliki 2 buah sudut yang salah satunya berbentuk siku-siku
6. Hubungan antar sisinya bisa dihitung dengan rumus Phytagoras, yaitu kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat kedua sisi penyikunya.

Persegi

Persegi merupakan bangun datar yang mempunyai empat buah sisi sama panjang sebagai batasannya (AB = BC = CD = AD dan AB // DC, AD // BC). Sifat-sifat persegi adalah:

1. Memiliki 4 buah sudut siku-siku, yaitu sudut ABC, DAB, BCD, dan CDA.
2. Memiliki 4 buah sumbu simetri, yaitu: garis AC, garis BD, garis KM, garis LN
3. Memiliki 2 garis diagonal yang saling berpotongan tegak lurus di titik P, yaitu garis BD dan AC.
4. Memiliki 4 buah simetri putar, yaitu sumbu LN, AC, KM, dan BD.

Belah Ketupat

Belah ketupat yaitu sebuah bangun datar dengan 4 buah sisi sama panjang sebagai batasannya. Sisi-sisi yang saling berhadapannya sejajar, sedangkan sisi-sisinya tidak saling tegak lurus.

Sifat-sifat lain belah ketupat adalah:

1. Memiliki 4 sudut. Sudut yang saling berhadapan besarnya sama (sudut BCD = sudut DAB, sudut CDA = sudut ABC).
2. Memiliki 2 buah sudut yang saling berdekatan yang besarannya 180°. Jadi sudut DAB + ABC = 180° dan sudut BCD + CDA = 180°
3. Memiliki 2 buah garis diagonal yang panjangnya berbeda namun saling berpotongan secara tegak lurus, yaitu AD = DC dan BP = PD
4. Memiliki 2 buah sumbu simetri, yaitu garis AC dan BD

Layang-layang

Layang-layang merupakan bangun datar segiempat yang merupakan gabungan dari dua segitiga sama kaki yang alasnya berimpit dan sama panjangnya. Sifat lain layang-layang:

1. Dibatasi 4 buah sisi yang berpasangan, AB = AD dan BC = DC
2. Dibentuk oleh 2 buah segitiga sama kaki yaitu ABD dan CBD
3. Memiliki 4 pasangan sudut yang saling berhadapan dan besaran antara pasangan berbeda.
   • Sudut DAB yang berhadapan dengan sudut BCD besarnya berbeda
   • Sudut ADC yang berhadapan dengan sudut ABC besarnya sama
4. Memiliki 2 garis diagonal yang panjangnya berbeda namun berpotongan saling tegak lurus. Seperti diagonal AC tegak lurus dengan diagonal BD
5. Memiliki 1 buah sumbu simetri yang juga merupakan salah satu garis diagonalnya, yaitu AC

Berikut informasi tentang bangun datar yang memiliki sumbu simetri berikut jumlahnya:

Rotasi/Simetri Putar

Coba perhatikan gambar persegi dengan bangkainya di atas. Persegi ini memiliki satu titik pusat yang berada di titik P. Nah, kalau persegi tersebut diputar 90° atau ¼ putaran, maka titik a pindah posisi ke sudut b.

Kalau diputar 180° atau ½ putaran, maka titik a akan berada di dalam sudut C. Jika diputar 270° atau ¾ putaran, titik a pindah ke sudut D. Dan jika diputar 360° atau satu putaran penuh. maka titik a akan kembali ke sudut A seperti semula. Biar lebih jelas, berikut gambaran lengkapnya:

Ini berarti, jika persegi diputar 360° maka dia mempunyai 4 simetri putar karena dalam satu putaran, persegi tersebut bisa menempati bingkainya sebanyak empat kali. Kondisi seperti ini dikenal juga dengan simetri putar tingkat 4.

Nah, sebuah bangun datar dikatakan memiliki simetri putar tingkat 4 jika dapat memenuhi beberapa syarat, yaitu:

1. Dalam satu putaran bisa menempati bingkainya beberapa kali
2. Titik pusat putarnya tertentu

Jika dalam satu putar, bangun datarnya hanya bisa menempati bingkainya satu kali, berarti dia tidak memiliki simetri putar sama sekali sebab dia tidak mempunyai titik pusat putar.

Sumbu Simetri pada Fungsi Kuadrat

Selain dalam bangun datar, kita juga belajar sumbu simetri pada materi fungsi kuadrat. Umumnya, fungsi kuadrat mempunyai bentuk y = ax2 + bx + c. x pada rumus tersebut merupakan variabel dan a, b, c merupakan bilangan dan a tidak sama dengan 0. Seperti yang dijelaskan dalam buku Rumus Pocket Matematika SMA Kelas X, XI, XII yang disusun oleh Tim Kompas Ilmu.

Umumnya grafik kuadrat memiliki bentuk parabola yang titik puncak dan sumbu simetrinya bisa dilihat. Untuk bisa menggambar grafik kuadrat, kita diajarkan untuk menghitung sumbu simetri serta titik puncaknya. Bagaimana caranya?

Perhatikan dua gambar di bawah ini:

Kedua gambar di atas menunjukkan bahwa grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola yang memiliki titik puncak atau titik ekstrim. Pada grafik yang pertama, titik puncaknya adalah -1 dan -2 sedangkan sumbu simetrinya x = 1. Sedangkan pada grafik yang kedua, titik puncaknya ada pada titik 2 dan -2, sedangkan sumbu simetrinya x = 2.

Pertanyaannya, bagaimana cara menghitung sumbu simetri dan titik puncaknya?
Simak penjelasannya di bawah ini.

Rumus Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat

Dalam fungsi kuadrat, ada sebuah garis pencerminan atau batas imajiner yang merupakan sumbu simetrinya. Berdasarkan bentuknya, sumbu simetri bisa dihitung dengan dua rumus:

• Bentuk standar, rumusnya adalah:

• Sedangkan dalam bentuk simpul, rumusnya menjadi x – h

Misalnya ada grafik fungsi kuadrat y = x2 + 6x – 8. Untuk menentukan sumbu simetrinya kamu bisa menggunakan cara:

Jadi sumbu simetrinya adalah -3

Rumus untuk Menentukan Nilai Optimum

Nilai optimum dalam matematika diartikan sebagai nilai tertinggi (maksimal) dan terendah (minimal) yang ada pada sebuah persamaan. Nah, jika grafik persamaannya berbentuk parabola, maka titik tertinggi dan terendah nya ditulis dalam bentuk angka atau bisa juga tak terhingga. Dalam fungsi kuadrat, nilai optimum bisa ditentukan dengan rumus:

y = -D/4a

Atau, bisa juga dengan memasukan nilai x nya. Misalnya, ada fungsi kuadrat ax2 + bx + c. Untuk menentukan nilai maksimal dan minimalnya, kita bisa memasukkan data seperti ini:

a = 1
b = -4
c = 4

Setelah itu, bisa diketahui bahwa nilai maksimalnya adalah tak terhingga sementara nilai minimalnya adalah 0 menggunakan rumus x2 – 4x + 4 dan pada x = 2.

Contoh Soal Mencari Sumbu Simetri, Nilai Optimum, dan Titik Optimum pada Fungsi Kuadrat

Dalam buku Sma Kl. 1,2,3 New Edition Big Book Matematika yang disusun oleh Tim Bbm, ada banyak sekali contoh soal tentang sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum pada fungsi kuadrat, beberapa diantaranya bisa kamu lihat di bawah ini:

Soal 1

Diketahui: fungsi kuadrat: f(x) = 8×2 16x 1.
Tentukan: a. bentuk grafik fungsi kuadratnya, b sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimumnya.
Jawab:

f(x) = 8×2 16x 1

a = 8, b = 16, c = 1

a. karena a < 0, ini berarti grafik fungsi kuadrat nya berbentuk parabola yang terbuka ke bawah (menghadap ke bawah)

b. sumbu simetri:

c. nilai optimum:

(Nilai optimum ini merupakan nilai maksimum karena grafik fungsi kuadrat menghadap ke bawah)

d. Titik optimum : (1, 7)

Soal 2

Cari sumbu simetri dari grafik y = x² − 6x + 5

Penyelesaian:

Untuk fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c, sumbu simetrinya merupakan garis vertikal yang dihitung dengan rumus:

Nah, dari grafik y = x² − 6x + 5, kita tahu bahwa:

a = 1, b = −6 dan c = 5.

Maka, jika dimasukan ke dalam rumus akan menjadi

Jadi sumbu simetrinya adalah x = 3

Soal 3

Diketahui: fungsi kuadrat: f(x) = 4x 2 8x + 3

Tentukan:

a. bentuk grafik fungsi kuadrat,

b. sumbu simetri, nilai optimum, dan titik optimum

Jawab:

f(x) = 4×2 8x + 3

a = 4, b = 8, c = 3

karena a > 0, berarti grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola yang menghadap ke atas (terbuka ke atas)

b. sumbu simetri:

c. nilai optimum:

(Nilai optimum ini merupakan nilai minimum karena grafik fungsi kuadrat menghadap ke atas)

d. Titik optimum : (1, -1)

Soal 4

Sebuah roket ditembakkan secara vertikal ke atas dan mencapai tinggi h meter setelah t detik, dirumuskan dengan h(t) = 400 t – 5t2. Tinggi maksimal roket tersebut adalah:
A. 8.000 meter
B. 1.200 meter
C. 1.800 meter
D. 24.000 meter
E. 36.000 meter

Penyelesaiannya;
Diketahui:
h(t) = 400t – 5h2
a = -5, b = 400 dan c = 0
Tentukan:
tinggi maksimum roket

Jawab:

Penutup

Demikian pembahasan tentang rumus sumbu simetri beserta dengan contoh soalnya. Semoga semua pembahasan di atas memudahkan kamu dalam memahami rumus sumbu simetri.

Jika ingin mencari buku matematika, maka kamu bisa mendapatkannya di Gramedia.com. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Gilang Oktaviana Putra

Baca juga: