Rumus Varians: Pengertian, Cara Menghitung dan Contoh -

Rumus varians – Varians adalah ukuran keragaman data yang mengukur seberapa jauh nilai-nilai dari rata-rata. Semakin besar varians, semakin tersebar data dari nilai rata-ratanya. Variance dalam statistika digunakan untuk mengukur seberapa besar perbedaan antara setiap nilai dalam data dengan nilai rata-ratanya. Variance digunakan dalam berbagai analisis statistik, termasuk pengukuran risiko dalam investasi dan analisis regresi.

Untuk menghitung nilai rata-rata yang ada di dalam data, ada dua rumus varians yang dapat digunakan yaitu rumus varians sampel dan rumus varians populasi. Ada perbedaan dari kedua rumus varians tersebut yaitu pada faktor koreksi yang digunakan.

Nah, supaya semakin jelas pembahasan tentang rumus varians, maka kita akan membahasnya pada artikel ini. Jadi, tetap simak ulasan ini sampai habis, Grameds.

Daftar Isi

Apa Itu Varians?

Sumber: George Becker/Pexels

Varians adalah ukuran yang mengukur seberapa jauh titik-titik data dari rata-ratanya. Secara sederhana, varians adalah ukuran statistik yang menunjukkan seberapa tersebar data dalam suatu sampel atau kumpulan data.

Nilai varians dihitung menggunakan rumus varians atau rumus ragam, yaitu dengan menghitung rata-rata hasil kuadrat dari selisih setiap nilai dengan nilai rata-rata. Langkah-langkah penggunaan rumus variansi meliputi: 1) perhitungan rata-rata, 2) kuadrat dari selisih setiap nilai dengan rata-rata, 3) hasil kali dari kuadrat bilangan dengan frekuensi, dan 4) rata-rata untuk hasil kali dari kuadrat bilangan dengan frekuensi.

Nilai variansi memungkinkan untuk mengevaluasi seberapa tersebar data dalam distribusi. Melalui nilai variansi, dapat diketahui seberapa dekat titik-titik data dengan rata-rata dari suatu populasi atau dari data sampel. Sehingga dari nilai variansi dapat ditentukan apakah nilai dari data tersebut termasuk normal, terlalu besar, atau terlalu kecil.

Selain rata-rata dan standar deviasi, varians dari sampel atau kumpulan data memungkinkan para ahli statistik untuk dapat memahami, mengatur, dan mengevaluasi data yang mereka kumpulkan untuk tujuan penelitian.

Ada dua rumus yang digunakan untuk menghitung varians, yang digunakan tergantung pada jenis data yang diambil. Misalnya, jika Grameds mengukur data dari seluruh populasi, seperti nilai seluruh mahasiswa di suatu perguruan tinggi, maka Grameds akan menghitung varians menggunakan rumus ini:

Varians= (jumlah dari setiap suku – rata-rata)^ 2/ n

Berikut adalah elemen dari rumus varians di atas:

Varians dari seluruh populasi adalah kuadrat dari standar deviasi.
Setiap istilah mewakili setiap nilai atau angka dalam kumpulan data Grameds.
Grameds perlu mengetahui rata-rata kumpulan data milik Grameds.
Ekspresi ^2 mewakili fungsi kuadrat, atau dengan kata lain, mengalikan angka dengan dirinya sendiri.
Variabel n mewakili jumlah nilai yang Grameds miliki dalam populasi Grameds.

Saat menghitung varians dari sampel saja, Anda akan menggunakan rumus ini:

Varians = (Jumlah setiap suku – rata-rata)^2 / (n-1)

Berikut adalah elemen-elemen dari rumus varians di atas:

Varians adalah ukuran yang ingin ditentukan untuk kumpulan sampel milik Grameds.
Setiap istilah adalah perbedaan antara setiap nilai dalam sampel dengan rata-rata sampel yang perlu diketahui sebelum menghitung varians.
Variabel n mewakili jumlah total sampel yang Grameds miliki.

Grameds dapat menggunakan n-1 karena Grameds menghitung varians untuk sampel dari populasi, bukan untuk seluruh populasi itu sendiri. Sebab n-1 digunakan untuk mengurangi bias dalam estimasi varians sampel.

Perlu diingat bahwa varians sampel dan varians populasi memiliki perbedaan dalam rumusnya dan dalam interpretasinya, varians sampel digunakan untuk mengestimasi varians populasi.

Secara sederhananya, standar deviasi menunjukkan seberapa jauh nilai data dari rata-rata sampel atau populasi. Sedangkan varians mengukur seberapa besar perbedaan rata-rata antara setiap nilai dalam kumpulan data. Ini artinya, varians mengukur rata-rata dari perbedaan nilai dari rata-rata, sementara standar deviasi mengukur seberapa jauh nilai data dari rata-rata.

Meskipun ada perbedaan kecil antara kedua konsep ini, varians dan standar deviasi saling terkait. Ketika Grameds menemukan standar deviasi dari suatu sampel atau populasi, maka Grameds dapat mengkuadratkan hasilnya untuk menemukan varians.

Meskipun hal ini adalah hubungan sederhana antara varians dan standar deviasi, ini menunjukkan betapa pentingnya memahami bagaimana kedua perhitungan ini bekerja bersama untuk memberikan pandangan yang lebih luas tentang data yang dianalisis.

Selain itu, standar deviasi menunjukkan seberapa jauh rentang nilai dari data dari rata-rata, dan tidak memperhitungkan outlier yang terjadi pada salah satu sisi rata-rata. Sedangkan varians mengukur seluruh perbedaan atau perubahan dalam kumpulan data, termasuk outlier yang terjadi di kedua sisi rata-rata.

Tanpa kedua faktor statistik ini, tidak akan ada keragaman dalam rentang data dari kumpulan sampel, yang berarti nilai-nilai dalam kumpulan data akan lebih banyak mengelompok di sekitar rata-rata daripada menyebar, seperti sebuah kurva lonceng.

Varians merupakan salah satu ilmu berhitung yang dikhususkan untuk menghitung suatu data. Untuk kamu yang ingin mendalami tentang biostatiska, maka bisa membaca buku Biostatiska Dasar. Lewat buku ini, pembaca akan mengetahui ilmu dasar statistika yang biasa digunakan dalam bidang kesehatan.

Rumus Varians dan Cara Menghitungnya

Sumber: Pixabay/Pexels

Nilai variansi sering digunakan dalam pengujian hipotesis, pengecekan goodness of fit, dan pengambilan sampel Monte Carlo. Oleh karena itu, mengetahui variansi dari data yang dimiliki merupakan hal penting dalam proses analisis data.

Variansi ditandai dengan kuadrat dari huruf yunani untuk sigma kecil yaitu σ² (sigma kuadrat) atau s². Ada dua jenis variansi dalam statistik yaitu variansi sampel dan variansi populasi. Untuk membedakan keduanya, simbol variansi untuk data populasi adalah σ² dan variansi untuk data sampel adalah s².

Data dapat ditampilkan dalam bentuk data tunggal atau data kelompok. Oleh karena itu, ada empat bentuk rumus variansi yaitu rumus variansi sampel data tunggal, variansi sampel data kelompok, variansi populasi data tunggal, dan variansi populasi data kelompok.

Ada empat bentuk rumus varians yang sesuai dengan persamaan-persamaan berikut ini:

Sumber: idschool.net

Keterangan:

σ2 = variansi

i = bilangan asli: 1, 2, 3, ….N

xi = data ke – i (yang ada pada data tunggal)

xi = data tengah yang digunakan untuk setiap kelas (ada pada data kelompok)

Me = mean (nilai rata-rata)

N = banyak data

fi = frekuensi atau banyaknya data pada kelas ke-i

Penggunaan dari rumus varians bergantung pada data yang dimiliki, apakah data tersebut adalah sampel atau populasi. Selain itu, penggunaan rumus varians tergantung dengan bagaimana bentuk dari penyajian data, apakah penyajian datanya tunggal atau kelompok.

Grameds dapat menggunakan rumus di atas dengan contoh soal, carilah nilai varians dari sampel dengan data tunggal 2,5,9,11 dan 13.

Untuk mencari nilai variansi dari sampel data tunggal 2, 5, 9, 11, dan 13, Grameds dapat menggunakan rumus variansi sampel (s2) untuk data tunggal.

Langkah-langkah yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:

Hitung nilai rata-rata (mean) dari sampel data. Rata-rata dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dari sampel data dan membagi dengan jumlah data.
Mean (Me) = (2 + 5 + 9 + 11 + 13) : 5 = 40 : 5 = 8
Kurangi nilai rata-rata dari setiap nilai dalam sampel data, lalu kuadratkan hasilnya.
Jumlahkan semua hasil yang diperoleh dari langkah 2
Bagilah jumlah tersebut dengan jumlah total nilai dalam sampel data dikurangi satu.
Nilai yang diperoleh dari perhitungan terakhir adalah variansi dari sampel data tunggal.

Sumber: idschool.net

Dalam keilmuan statistika, varians dapat dihitung dari seluruh kumpulan data, seperti laporan penjualan tahunan yang menunjukkan jumlah penjualan bersih setiap hari selama satu tahun.

Grameds juga dapat menghitung varians hanya dari sampel dari keseluruhan data. Dalam contoh laporan penjualan tahunan sederhana, sampel dapat berupa jumlah penjualan musim panas. Dalam hal ini, ahli statistik akan mengukur sampel dalam rentang tanggal tertentu. Dalam kedua contoh ini, varians dapat dihitung menggunakan salah satu dari dua rumus.

Apabila Grameds mengukur seluruh kumpulan data, Grameds dapat menggunakan langkah-langkah berikut untuk rumus varians untuk seluruh kumpulan data yang ada.

Varians= (jumlah setiap suku – rata-rata) ^ 2/ n

Untuk menghitung varians dari sebuah kumpulan data, pertama-tama kurangi rata-rata dari setiap nilai dalam kumpulan data tersebut. Misalnya, jika Grameds memiliki populasi dengan tiga titik data, maka Grameds akan mengurangi nilai rata-rata dari masing-masing tiga titik tersebut. Kemudian, kuadratkan masing-masing perbedaan tersebut. Setelah itu jumlahkan semua hasil yang diperoleh dari setiap perbedaan yang sudah dikuadratkan.

Contoh:

Jika populasi yang Grameds miliki, memiliki nilai rata-rata 35, dan tiga titik data yaitu 108, 100, 78. Maka kurangi nilai rata-rata dari setiap titik data : (108-35), (100-35), (78-35) = (73), (65), (43).

Kemudian kuadratkan masing-masing perbedaan: (73)², (65)², (43)² = (5.329), (4.225), (1.849), lalu jumlahkan semua hasil yang diperoleh : (5.329) + (4.225) + (1.849) = 11.403.

Setelah mendapatkan jumlah dari hasil perhitungan sebelumnya, sekarang Grameds dapat membagi jumlah tersebut dengan jumlah total dari nilai dalam kumpulan data yang telah Grameds miliki.

Contoh:

Jumlah dari hasil perhitungan sebelumnya adalah 11.403
Jumlah total nilai dalam kumpulan data yang Anda miliki adalah 3
Bagilah jumlah tersebut dengan jumlah total nilai : (11.403) / (3) = 3.801

Nilai yang diperoleh dari hasil perhitungan tersebut adalah varians dari seluruh populasi.

Secara sederhananya, berikut cara menggunakan rumus varians dari contoh di atas:

2 = ((108-35)^2 + (100-35)^2 + (78-35)^2) / 3

= (73^2 + 65^2 + 43^2) / 3

= (5.329 + 4.225 + 1.849) / 3

= 11.403 / 3

= 3.801

Jika hanya mengukur sampel dari seluruh kumpulan data, maka Grameds harus menggunakan rumus varians sampel. Rumus ini menggunakan suku n-1. Proses perhitungannya sama dengan perhitungan varians populasi, yaitu :

Varians sampel = (Jumlah setiap suku – rata-rata)^2 / (n-1)

Dimana jumlah setiap suku adalah jumlah dari setiap data dalam sampel. Rata-rata adalah nilai rata-rata dari sampel data, n adalah jumlah data dalam sampel. Jadi, varians sampel dihitung dengan mengurangi setiap nilai dari rata-rata, lalu mengelevasikan hasil tersebut, lalu jumlahkan semua hasil tersebut dan bagi dengan n-1.

Contohnya adalah berikut ini:

σ2 = ((33-25)^2 + (16-25)^2 + (45-25)^2) / (3-1)

= (8^2 + -9^2 + 20^2) / (3-1)

= (64 + 81 + 400) / (3-1)

= 545 / (3-1)

= 545 / 2

= 272,5

Bicara tentang varians, maka bisa juga berhubungan dengan data. Dalam mengelola data, tak boleh dilakukan secara asal-asalan. Maka dari itu, dibutuhkan buku panduan dalam mengolah data, salah satunya adalah buku Analisis Data Kuantitatif dengan Statistika Deskriptif.

Contoh Soal Varians

Sumber: Jeswin Thomas/Pexels

Agar lebih mudah memahami bagaimana cara menggunakan rumus varians, Grameds bisa menyimak beberapa contoh soal serta pembahasan dengan menggunakan rumus varians berikut ini.

Contoh Soal 1

Diketahui sampel data sebanyak 5 titik yaitu: 4, 6, 9, 8, dan 11. Hitunglah varians sampel dari data tersebut!

Penyelesaian:

Hitung nilai rata-rata (mean) dari sampel data. Rata-rata dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dari sampel data dan membagi dengan jumlah data.

Mean (Me) = (4 + 6 + 9 + 8 + 11) : 5 = 38 : 5 = 7.6

Kurangi nilai rata-rata dari setiap nilai dalam sampel data, lalu kuadratkan hasilnya.

(4-7.6)², (6-7.6)², (9-7.6)², (8-7.6)², (11-7.6)² = (-3.6)², (-1.6)², (1.4)², (0.4)², (3.4)² = 12.96, 2.56, 1.96, 0.16, 11.56

Jumlahkan semua hasil yang diperoleh dari langkah 2

12.96 + 2.56 + 1.96 + 0.16 + 11.56 = 29.24

Bagilah jumlah tersebut dengan jumlah total nilai dalam sampel data dikurangi satu.

29.24 / (5-1) = 29.24 / 4 = 7.31

Nilai yang diperoleh dari perhitungan terakhir adalah variansi dari sampel data tunggal yaitu 7.31

Jadi varians sampel dari data yang diberikan adalah 7.31.

Contoh Soal 2

Diketahui data sebanyak 10 titik yaitu: 12, 14, 15, 20, 18, 16, 17, 19, 21, dan 22. Hitunglah varians populasi dari data tersebut!

Penyelesaian:

Hitung nilai rata-rata (mean) dari data. Rata-rata dapat dihitung dengan menjumlahkan semua nilai dari data dan membagi dengan jumlah data.

Mean (Me) = (12 + 14 + 15 + 20 + 18 + 16 + 17 + 19 + 21 + 22) : 10 = 185 : 10 = 18.5

Kurangi nilai rata-rata dari setiap nilai dalam data, lalu kuadratkan hasilnya.

(12-18.5)², (14-18.5)², (15-18.5)², (20-18.5)², (18-18.5)², (16-18.5)², (17-18.5)², (19-18.5)², (21-18.5)², (22-18.5)² = (-6.5)², (-4.5)², (-3.5)², (1.5)², (-0.5)², (-2.5)², (-1.5)², (0.5)², (2.5)², (3.5)² = 42.25, 20.25, 12.25, 2.25, 0.25, 6.25, 2.25, 0.25, 6.25, 12.25

Jumlahkan semua hasil yang diperoleh dari langkah 2 seperti berikut,

42.25 + 20.25 + 12.25 + 2.25 + 0.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 6.25 + 12.25 = 105

Bagilah jumlah tersebut dengan jumlah total nilai dalam data.

105 / 10 = 10.5

Nilai yang diperoleh dari perhitungan terakhir adalah varians dari populasi yaitu 10.5

Jadi varians populasi dari data yang diberikan adalah 10.5

Demikianlah pembahasan tentang rumus varians lengkap dengan pengertian serta contoh soal maupun pembahasannya. Pelajari lebih lanjut tentang rumus varians dan ilmu statistik yang lainnya dengan membaca buku.

Sebagai #SahabatTanpaBatas, gramedia.com senantiasa menyediakan berbagai macam buku berkualitas untuk Grameds. Jangan ragu untuk membeli buku di Gramedia karena dijamin original. Membaca banyak buku dan artikel tidak akan pernah merugikan kalian, karena Grameds akan mendapatkan informasi dan pengetahuan #LebihDenganMembaca.

Penulis: Khansa

Rujukan:

https://accurate.id/ekonomi-keuangan/rumus-varians/#:~:text=Varians%20%3D%20(Jumlah%20setiap%20suku%20%E2%80%93,%2Drata)%5E2%20%2F%20n&text=Setiap%20istilah%20mewakili%20setiap%20nilai,rata%2Drata%20kumpulan%20data%20Anda.
https://idschool.net/sma/rumus-variansi-ragam/
https://www.akseleran.co.id/blog/rumus-varians/#Contoh_Penerapan_Rumus_Varians_dan_Standar_Deviasi