Jenis Matriks: Operasi Perhitungan dan Contoh soalnya

Jenis matriks – Bicara tentang mata pelajaran Matematika, tentunya kalian tidak asing dengan materi matriks. Ya, matriks masuk ke dalam daftar materi yang ada di dalam pembelajaran matematika. Meski begitu apakah kalian tahu apa itu matrik dan apa saja sih jenis dari matriks? Jika belum, maka kalian bisa membaca ulasan mengenai matriks termasuk jenis-jenis matriks dalam artikel ini.

Secara mudahnya matriks dalam matematika diartikan sebagai sekumpulan bilangan, simbol atau ekspresi yang berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan yang  ada di dalam suatu matriks kerap disebut sebagai elemen atau bisa juga disebut sebagai anggota dari suatu matriks.

Keberadaan dari matriks kerap digunakan untuk menyelesaikan berbagai macam jenis permasalahan dalam matematika. Misalnya seperti ketika harus menemukan solusi dalam permasalahan persamaan linear, transformasi linear. Misalnya bentuk umum dari fungsi linear adala rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks sebenarnya sama seperti variable biasa dan hal ini menjadikan matriks dapat dimanipulasikan. Misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan maupun didekomposisikan. Dengan menggunakan manipulasi matriks tersebut, perhitungan yang dilakukan akan menjadi lebih terstruktur.

 

Pengertian Matriks

Sebelum kita membahas mengenai jenis-jenis matriks, akan lebih baik jika kita juga tahu pengertian dari matriks itu sendiri. Sebelumnya telah dijelaskan mengenai pengertian matriks dalam matematika namun hanya sekilas. Nah, di dalam poin ini akan kita bahas lebih dalam lagi mengenai pengertian matriks.

Matriks adalah susunan kelompok bilangan yang ada di dalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan biasanya akan diatur berdasarkan pada baris dan kolom yang selanjutnya akan diletakkan diantara dua tanda kurung.

Tanda kurung yang digunakan untuk mengapit susunan anggota matriks biasanya akan menggunakan tanda kurung biasa maupun tanda kurung  siku. Sedangkan bilangan yang  ada pada matriks akan disebut sebagai elemen atau unsur matrik.

Lalu, dalam matriks juga terdapat elemen atau unsur yang  disusun secara horizontal dan akan disebut sebagai baris. Sedangkan untuk kumpulan elemen atau unsur yang telah  disusun secara vertikal akan disebut sebagai kolom.

Matriks yang memiliki m sebagai baris dan n sebagai kolom dapat disebut sebagai matriks m x n dan sibut juga sebagai matriks dengan order m x n. Tak hanya itu saja, pada penulisan matriks ini juga akan menggunakan huruf kapital dan tebal.

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol atau bisa juga disebut sebagai espresi yang telah disusun dalam baris dan kolom hingga membentuk bangun persegi.

 

Operasi Dasar Matriks

Seperti yang dijelaskan sebelumnya jika matriks dalam matematika sama dengan variabel biasa lainnya. Itu artinya matriks dapat dimanipulasikan guna memecahkan permasalahan dalam matematika. Mulai dari penjumlahan, pengurangan hingga perkalian matriks.

Setiap operasi dasar matriks selalu memiliki pengertian dan cara perhitungan yang berbeda. Nah untuk lebih memahami bagaimana cara perhitungan operasi dasar matriks, berikut adalah penjelasan selengkapnya.

• Penjumlahan pada Matriks

Kita ambil contoh ada dua buah matriks yaitu matriks A dan matriks B. Jika keberadaan dari matriks C merupakan matriks dari hasil penjumlahan antara matriks A dan B, maka matriks C bisa didapatkan dengan melakukan operasi penjumlahan setiap elemen yang ada pada matriks A yang posisinya seletak dengan setiap elemen pada matriks B. Karena hal inilah syarat agar dua atau lebih matriks bisa dijumlahkan harus memiliki ordo yang sama.

Perhitungan aljabar matriks bisa diterpakan pada aplikasi Scilab. Tentunya diperlukan pemahaman lebih lanjut mengenai penerapan aljabar matriks di aplikasi Scilab seperti yang ada di dalam buku Aljabar Matrik : Teori Dan Aplikasinya Dengan Scilab.

• Pengurangan Matriks

Kita ambil contoh jika ada dua buah matriks yaitu matriks A dan matriks B. Jika keberadaan dari matriks C adalah matriks hasil pengurangan dari A dan B, maka matriks C bisa didapatkan dengan operasi pengurangan pada setiap elemen yang ada pada matriks A yang seletak dengan setiap elemen yang ada pada matriks B.

Pada dasarnya, operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan matriks terhadap lawan bilangan penambah. Karena hal tersebut pengurangan pada matriks A dengan matriks B bisa diartikan sebagai penjumlahan dari matriks dengan lawan matriks B.

Secara matematis bisa dituliskan sebagai berikut.

A – B = A + (-B)

Sama dengan syarat operasi penjumlahan matriks, dua atau lebih matriks baru bisa dikurangkan ketika memiliki ordo yang sama.

• Perkalian Matriks dengan Bilangan Real (Skalar)

Kita ambil contoh terdapat matriks A dengan ordo m x n dan suatu bilangan real atau scalar yang dituliskan sebagai k. Perkalian antara matriks A dengan skalar k bisa kita tuliskan sebagai kA yang didapatkan dari mengalikan setiap elemen yang ada pada matriks A dengan scalar K. Perlu diketahui jika perkalian pada suatu matriks dengan scalar bisa dilakukan tanpa memerlukan persyaratan tertentu. Itu artinya semua jenis matriks dengan ordo sembarang bisa dikalikan dengan bilangan real atau scalar.

• Perkalian Matriks dengan Matriks

Kita ambil contoh ada dua buah matriks yaitu matriks A yang memiliki ordo m x p dan matriks B yang memiliki ordo p x nb. Dimana perkalian antara matriks A dengan matriks B bisa dituliskan dengan A x B yang didapatkan dari penjumlahan hasil kali elemen yang sesuai pada baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B, dengan i= 1,2,3,…..,m dan j= 1,2,3,…., n.

Syarat agar dua buah matriks bisa dikalikan adalah pada bagian matriks pertama harus memiliki jumlah kolom yang sama terhadap jumlah matriks kedua. Ordo matriks hasil perkalian dari dua buah matriks adalah jumlah baris pertama yang dikalikan dengan jumlah kolom kedua.

Sifat-Sifat Matriks

pixabay.com/STA82

Matriks memiliki sifat-sifat tertentu yang berlaku ketika matriks tersebut dioperasikan dengan matriks lainnya. Beberapa sifat dari matriks adalah sebagai berikut ini.

• Sifat Penjumlahan Matriks

Penjumlahan pada matriks hanya berlaku pada matriks dengan ordo sama. Ketika ordo antar matriks tidak sama, maka tidak akan bisa dilakukan operasi penjumlahan matriks. Sebagai contohnya adalah antar matriks ordo 2 x 2, antar matrik 3 x 3 dan seterusnya. Dimana penjumlahan tersebut akan memiliki sifat sebagai berikut.

Sifat komunikatif yaitu sifat yang dapat memenuhi A + B = B + A.

Sifat asosiatif yaitu sifat yang memenuhi (A + B) + C = A + (B + C)

Sifat matriks nol yaitu sifat yang dapat memenuhi A + 0 = A.

• Sifat Pengurangan Matriks

Sama dengan sifat penjumlahan, operasi pengurangan matriks hanya bisa dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Namun sifat-sifat pada operasi penjumlahan matriks tidak berlaku pada pengurangan kecuali sifat pengurangan dengan matriks nol yaitu A – 0 = A.

• Sifat Perkalian Matriks

Perkalian antara dua matriks bisa dilakukan ketika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Sebagai contohnya adalah matriks ordo 2 x 3 dapat dikalikan dengan ordo 3 x 2, matriks dengan ordo 3 x 1 bisa dikalikan dengan matriks ordo 1 x 3 dan seterusnya. Sebagai catatan jika ketentuan tersebut tidak dapat dibalik. Pada perkalian matriks juga berlaku beberapa sifat seperti yang ada di bawah ini.

Sifat asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C).

Sifat distributif, yaitu A × (B + C) = (A × B) + (A × C).

Perkalian dengan matriks nol akan dapat menghasilkan matriks nol, yaitu A × 0 = 0.

Matriks adalah salah satu materi yang ada di dalam cakupan aljabar linier. Biasanya matriks akan diajarkan bersama dengan materi persamaan linier dan pemrograman linier. Buku dengan judul Matriks Persamaan Linear dan Pemrograman Linear Edisi Revisi mencakup materi mengenai matriks, persamaan linier dan pemrograman linier. 

 

Jenis-jenis Matriks

pixabay.com/geralt

Matriks bisa dibagi menjadi beberapa jenis. Dimana setiap jenis matriks ini memiliki pengertian yang berbeda-beda. Tentunya mempelajari materi matriks juga harus mempelajari jenis-jenis matriks itu sendiri. Nah di bawah ini adalah beberapa jenis matriks yang bisa kalian pahami dan pelajari.

• Matriks baris

Matriks merupakan jenis matriks yang di dalamnya hanya akan ada satu baris dengan beberapa kolom. Agar lebih mudah, kalian bisa memahami contoh matriks baris matriks yang ada di bawah ini.

P = (2  -1  3)

Q = (1  -5  2  6)

R = (3  -7)

Dari contoh matriks baris di atas bisa kita ketahui jika P, Q atau R  semuanya merupakan jenis matriks baris. Akan tetapi ordo dari ketiga jenis matriks tersebut berbeda karena jumlah kolom yang  dimiliki juga berbeda. Matriks P memiliki ordo 1 x 3, matriks Q memiliki ordo 1 x 4 dan untuk matriks R memiliki ordo 1 x 2.

• Matriks kolom

Matriks kolom merupakan jenis matriks yang hanya memiliki satu kolom dengan beberapa baris di dalamnya. Secara prinsip memang sama dengan jenis matriks baris. Agar lebih mudah memahaminya, coba perhatikan contoh matriks kolom yang ada di bawah ini.

P = 2 -1 3

Q = 1 -5 2 6

R = 3 -7

Ketiga contoh matriks di atas memiliki jumlah kolom yang  sama yaitu satu. Akan tetapi untuk baris pada ketika matriks tersebut berbeda. Itu artinya ordo dari setiap matriks juga akan berbeda. Dimana matriks P akan memiliki ordo 3 x 1, matriks Q maka memiliki ordo 4 x 1 dan untuk matriks R akan memiliki ordo 2 x 1.

• Matriks nol

Matriks nol adalah jenis matriks yang memiliki nilai nol pada semua elemennya. Agar lebih mudah memahaminya, coba perhatikan contoh dari matriks nol yang ada di bawah ini. 

P = 0 0 0 0

Q =0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks dengan jumlah baris yang sama dengan jumlah kolomnya. Mislanya seperti matriks ordo 2 x 2, ordo 3 x 3 dan seterusnya. Nah untuk lebih memahaminya, kalian bisa memperhatikan contoh matriks persegi di bawah ini.

P =1-1 2 -2 3 5 0 1-2

Q = -3 1 2-1

R =1-1 2 4 -5-5 4 2 0 1-2-3 6 0 3 2

• Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga persegi adalah matriks dengan elemen yang berada di bawah diagonal utamanya bernilai nol sehingga menjadikannya seperti bentuk segitiga. Coba perhatikan contoh matriks segitiga atas di bawah ini agar kalian lebih memahaminya. 

P =1-1 2 0 3 5 0 0-2

Matriks segitiga atas biasanya akan digunakan untuk dasar ketika mencari determinan dengan metode reduksi baris.

• Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah jenis matriks dengan elemen berada diatas diagonal utamanya. Di bawah ini adalah contoh  dari matriks segitiga bawah yang bisa kalian pahami. 

P =1 0 0 -2 3 0 0 1-2

• Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah jenis matriks persegi yang pada semua elemennya memiliki nilai nol kecuali diagonal utamanya. Agar lebih paham mengenai matriks diagonal, perhatikan contoh di bawah ini. 

P =1 0 0 0 3 0 0 0-2

• Matriks Identitas

Matriks identitas adalah jenis matriks diagonal yang pada setiap elemen diagonal utamanya memiliki nilai satu. Sebagai contoh dari matriks identitas adalah sebagai berikut ini. 

I1 =1 0 0 0 1 0 0 0 1

I2 =1 0 0 1

• Matriks singular

Matriks Singular adalah jenis matriks dengan kondisi determinan bernilai nol. Itu artinya kalian bisa menentukan singularitas  matriks dengan menggunakan operasi perhitungan karena memang tidak dapat dilihat secara visual hanya melalui bentuk matriksnya saja. Agar lebih memahami matriks singular, coba perhatikan contoh yang ada di bawah ini.

P =2 4 4 8

Matriks P merupakan jenis matriks singular karerna memang determinannya adalah nilai nol. 

Det P = (2 × 8) – (4 × 4)

           = 16 – 16

           = 0

 

Contoh Soal Matriks 

Jika sebelumnya telah kita pelajari bersama mengenai materi matriks. Akan lebih baik jika kita juga tahu contoh soal matriks lengkap dengan pembahasannya. Dibawah ini ada beberapa contoh soal matriks dan pembahasannya yang bisa kalian pahami. 

Contoh soal 1

Nilai X yang memenuhi persamaan berikut ini adalah…

3 2 5-1 +x-5 0 4y = 12-8 15 3 +6y 5 -10 0

Jawaban:

3 2 5-1 +x-5 0 4y = 12-8 15 3 +6y 5 -10 0

3+x-3 5-1+4y = 12+6y-3  5 3

 

-1 + 4y = 3 ⇔ y = 1 y = 1 → 3 + x = 12 + 6y

3 + x = 12 + 6(1)              

X = 15

Maka, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah 15.

Contoh soal 2

Jika

A = 1 2 3 4

B= -2 3 0 1

C = 5 2 -1 0

Maka bentuk yang paling sederhana dari (A + C) – (A + B) adalah…

=1 2 3 4 +5 2 -1 0 –1 2 3 4 +-2 3 0 1

(A + C) – (A + B)

 = 6 4 2 4 – -1 5 3 5 = 6 4 2 4 + 1-5 -3-5

= 1 2 3 4

Contoh soal 3

Jika 2 -1 12 12 + 34 0 3 +k2 1 3 = 2 -3 -4

Maka nilai K adalah 

Jawaban

1 2 3  4 5 6 1 2 3 4 5 6 = 1×1+ 2×3+ 3×5      1×2+2×4+3×6 4×1+5×3+6×5        4×2+5×4+6×6

= 22 28 49 64

(Sumber contoh Sonora.id)

Contoh soal 4

Terdapat dua buah matriks P dan Q yaitu P=4 a 0 3  Dan Q=10 b 0 6 . Jika PQ=QP, maka ab=⋯

 

A.1/2

1. 1/3
2. 1/4
3. 2/3
4. 3/4

Jawaban 

PQ = QP

4 a 0 3  10 b 0 6 = 10 b 0 6 4 a 0 3

10 b 0 6 =40 10a+3b 0 8

Dari perhitungan tersebut bisa didapatkan hasil seperti di bawah ini. 

4b + 6a = 10a + 3b

4b + 3b = 10a + 6a

b = 4a

a/b = ¼ (C)

(sumber soal: jagostat.com)

Memahami materi matriks memang memerlukan berbagai macam jenis sumber. Jika dalam artikel ini sudah dijelaskan lebih dalam lagi tentang apa itu matriks, maka penerapan perhitungan matriks bisa juga kalian pelajari melalui kumpulan soal dan materi yang ada di dalam buku Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier Edisi 3.

 

Nah, itulah beberapa contoh soal dari materi matriks yang bisa kalian baca dan pahami. Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat untuk kalian, Grameds. 

Jika ingin mencari buku tentang matematika, maka kalian bisa mendapatkannya di gramedia.com. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Hendrik

Rujukan:

• https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/matriks/#Cara_Menghitung_Matriks
• https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose
• https://www.ruangguru.com/blog/mengenal-matriks-dalam-matematika-pengertian-jenis-dan-transpose
• https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-11-operasi-aljabar-pada-matriks-penjumlahan-pengurangan-dan-perkalian

sumber contoh soal:

• https://jagostat.com/bahas-soal-matematika/contoh-soal-dan-pembahasan-matriks
• https://www.sonora.id/read/423643100/5-contoh-soal-matriks-untuk-kelas-11-sma-dan-kunci-jawabannya?page=all