Ketahui Rumus Kombinasi Beserta Contoh Soalnya

Rumus Kombinasi – Dalam artikel kali ini, kita akan membahas mengenai darumusn kombinasi. Apakah Grameds sudah memahami notasi faktorial?

Notasi faktorial secara umum dilambangkan dengan tanda seru atau “ ! “. Misalnya Grameds hendak menghitung hasil dari 5!. Maka, nilai dari 5! Bisa dihitung sebagai 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Gimana, apakah Grameds sudah memahaminya? Jika belum, tak perlu khawatir karena kita akan membahasnya pada ulasan ini. Jadi, simak sampai habis, ya.

Definisi Kombinasi

Kombinasi dan permutasi dalam perhitungan merupakan hal yang mirip, tetapi sesungguhnya berbeda. Permutasi merupakan pengaturan dari himpunan baik sebagian maupun keseluruhan, tetapi harus memperhatikan urutan dari elemennya, sedangkan kombinasi juga pengaturan dari himpunan baik sebagian maupun keseluruhan dan tidak perlu memperhatikan urutan dalam pengaturan himpunannya. Dengan kata lain, kombinasi adalah suatu aturan pencacahan/penyusunan yang tidak memperhatikan urutan objeknya.

Rumus Kombinasi

Rumus kombinasi r objek dari n objek dapat dituliskan sebagai berikut.

C(n, r) = n!/(r! (n – r)!)

Keterangan:

C(n, r) : permutasi r objek dari n objek yang ada

n : banyaknya objek keseluruhan

r  : banyaknya objek yang diamati/diberi perlakuan

Contoh Soal dan Jawabannya

Soal 1

Sebuah tempat pelatihan bahasa Arab akan memilih 4 dari 7 peserta, untuk berpartisipasi dalam debat bahasa Arab yang diadakan pada tingkat provinsi. Terdapat berapa cara yang bisa digunakan oleh pihak pelatihan bahasa Arab untuk memilih peserta tersebut?

Cara penyelesaian menggunakan rumus kombinasi:

7C4 = 7! / (4! (7-4)!)

= (7x6x5x4x3x2x1) / (4x3x2x1) (3x2x1)

= (7x6x5) / (3x2x1)

=  210 /6

= 35

Dengan demikian, jawaban dari pertanyaan tersebut ialah 35 atau yang berarti pihak pelatihan bahasa Arab dapat memilih peserta debat tersebut dengan 35 cara.

Soal 2

Dalam sebuah acara 17 Agustus-an, setiap peserta diwajibkan mengajak peserta lainnya berpartisipasi untuk permainan berpasangan antara satu dengan yang lainnya. Bila di dalam acara 17 Agustus-an tersebut diikuti oleh 10 peserta, berapa kali mereka harus mengajak peserta lainnya untuk berpasangan?

Cara penyelesaian menggunakan rumus kombinasi:

Karena permainan berpasangan ini melibatkan 2 orang, maka situasi yang dapat dilakukan (n), yakni 10 kali yang dihitung dari 10 orang. Sedangkan situasi yang dapat dilakukan harus dipilih (r), yakni 2 kali karena permainan berpasangan tersebut melibatkan 2 orang.  Untuk penyelesaiannya ialah:

10C2 = 10! / (2! (10-2) !)

= 10! / (2! 8!)

= (10x9x8x7x6x5x4x3x2x1) / ( (2×1) (8x7x6x5x4x3x2x1) )

= (10×9) / 2

= 90 /2

= 45

Dengan demikian, dari soal tersebut bisa diketahui bahwa banyaknya jumlah peserta 17 Agustus-an tersebut untuk permainan berpasangan antara satu dengan yang lainnya, yakni sekitar 45 kali.

Soal 3

Indah memiliki keinginan untuk membeli 3 jenis ikan di pasar. Setibanya di pasar, ternyata penjual tersebut menjual ikan dengan 5 jenis ikan yang berbeda-beda. Berapa jumlah kombinasi ikan yang mungkin akan dibeli oleh Indah?

Cara penyelesaian menggunakan rumus kombinasi:

5C3 = 5! / (3! (5-3) !)

= (5x4x3x2x1) / ( (3x2x1)  (2×1) ! )

= (5×4) / (2×1)

= 20 / 2

= 10

Jadi, dari contoh soal tersebut bisa ditarik kesimpulan bahwa jumlah kombinasi ikan yang mungkin akan dipilih Indah, yakni sekitar 10 kombinasi.

Soal 4

Fajar membawa 5 bakpao dengan varian rasa yang berbeda-beda, dan 4 buah dengan jenis yang berbeda pula di dalam tasnya. Ketika waktu istirahat tiba, Fajar mengambil 3 bakpao dan 2 buah dari dalam tasnya. Ada berapa cara yang dapat dilakukan oleh Fajar dalam memilih bakpao dan buah yang diinginkannya?

Cara penyelesaian:

1. Cara Memilih Bakpao

Adapun cara memilih bakpao dari contoh soal tersebut antara lain:

5C3 = 5! / (3! (5-3) !)

= 5! / (3! 2!)

= (5x4x3x2x1) / (3x2x1) ( 2×1)

= (5×4) / (2×1)

= 20 / 2

= 10

Dengan demikian, cara yang bisa dilakukan Fajar untuk memilih Bakpao yang ia sukai ialah sebanyak 10 kali.

1. Cara Memilih Buah

Penyelesaian untuk memilih jenis buah yang disukai Fajar ialah:

4C2 = 4! / (2! (4-2) !)

= 4! / (2! 2!)

= (4x3x2x1) / ( ( 2×1) (2×1)

= (4×3) / (2×1)

= 12 / 2

= 6

Dari jawaban tersebut bisa diketahui bahwa cara Fajar untuk memilih jenis buah yang disukai ialah sebanyak 6 cara. Sementara cara untuk memilih bakpao dan buah yang bisa dilakukan Fajaryaitu 10 x6, atu total sebanyak 60 cara.

Soal 5

Dari keseluruhan 9 petugas kelurahan, akan dipilih sekitar 5 orang sebagai perwakilan untuk melakukan rapat kecamatan, dengan anggota 3 orang laki-laki dan 2 orang perempuan.

Berapa cara yang dapat dilakukan untuk memilih perwakilan desa tersebut, bilamana di kantor kelurahan tersebut terdapat 5 orang laki-laki, dan 4 orang perempuan?

Cara penyelesaiannya:

1. Cara Memilih Petugas Kelurahan Laki-Laki

5C3 = 5! / (3! (5-3) !)

= 5! / (3! 2!)

= (5x4x3x2x1) / (3x2x1) (2×1)

= (5×4) / (2×1)

= 20 / 2

= 10

Cara memilih perwakilan petugas kelurahan untuk laki-laki, yakni 10 cara.

1. Cara Memilih Petugas Kelurahan Perempuan

4C2 = 4! / (2! (4-2) !)

= 4! / (2! 2!)

= (4x3x2x1) / (2×1) (2×1)

= (4×3) / (2×1)

= 12/ 2

= 6

Dengan demikian, cara untuk memilih perwakilan petugas kelurahan perempuan ialah 6 cara. Meski demikian, bagaimana cara untuk memilih perwakilan petugas kelurahan secara keseluruhan?

Grameds dapat mengalikan hasil dari perwakilan laki-laki tersebut dengan hasil dari perwakilan perempuan. Maka dari soal cerita tersebut dapat diketahui, bahwa cara memilih perwakilan petugas kelurahan untuk rapat di kecamatan, yakni 10×6 atau 60 cara.

Demikian rumus kombinasi dan contoh soal serta beserta dengan jawabannya yang dapat Grameds pelajari. Perlu diingat, bahwa untuk mengerjakam soal kombinasi, Grameds harus paham terlebih dulu rumusnya supaya lebih mudah untuk menyelesaikan tiap-tiap soal kombinasi tersebut.

Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca. Dapatkan rekomendasi buku seputar soal matematika di gramedia.com, ya. 

Penulis: Nanda Akbar Gumilang

Rujukan:

• https://mediaindonesia.com/humaniora/517766/ini-perbedaan-permutasi-dan-kombinasi-dalam-matematika
• https://rumuspintar.com/permutasi-kombinasi/
• https://mamikos.com/info/contoh-soal-cerita-kombinasi-pljr/

Rekomendasi Buku Terkait

1. Hafalan Rumus Matematika SMA/MA Kelas 10 11 12

Deskripsi Buku

Matematika adalah salah satu mata pelajaran wajib yang diajarkan mulai dari tingkat dasar sampai menengah, bahkan perguruan tinggi. Hal tersebut dilakukan karena menyesuaikan dengan kurikulum yang telah dirancang oleh dinas terkait. Tak sedikit dari siswa yang mengaku tidak tertarik, tidak suka, dan bahkan benci dengan pelajaran ini karena berbagai alasan, mulai dari sulit, membosankan, guru yang galak, dan lain sebagainya.

Disiplin-disiplin utama yang ada di dalam matematika pertama kali muncul dikarenakan adanya keperluan akan:

1. Perhitungan dalam perdagangan
2. Memahami hubungan antar bilangan
3. Mengukur tanah
4. Untuk meramal peristiwa astronomi.

Empat kebutuhan tersebut secara kasar bisa dikaitkan dengan segala pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian mengebai besaran, struktur, ruang, serta perubahan (aritmatika, aljabar, geometri, dan analisis).

Buku Hafalan Rumus Matematika SMA/MA Kelas 10, 11, dan 12 dirilis sebagai solusi bagi para siswa untuk bisa dan memahami keempat kajian matematika tersebut. Buku ini menyajikan kumpulan rumus serta ringkasan materi yang dilengkapi dengan banyak contoh soal lengkap dengan pembahasannya. Disajikan dalam ukuran praktis supaya bisa dipelajari kapan pun dan di mana pun.

Buku ini dapat dijadikan sebagai pedoman yang berisi banyak kumpulan rumus paling lengkap dalam Matematika. Dengan bentuk yang praktis serta mudah dibawa membuatnya sangat cocok untuk menjadi teman bagi para siswa yang gendak mempelajarinya. Tak harus di dalam kelas, di manapun berada Grameds dapat memperlajari matematikan dengan buku yang sangat ringkas, tetapi memiliki isi yang kaya akan berbagai rumus praktis dan mudah untuk diingat.

2. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas 11 Peminatan Kurikulum 2013 REVISI

Deskripsi Buku

Biasanya, buku teks berisi bahan ajar maupun teks pembelajaran perihal suatu bidang ilmu tertentu. Buku tersebut berisi berbagai bahan pembelajaran dan dilengkapi dengan latihan soal yang dapat digunakan sebagai pegangan oleh pendidik maupun peserta didik dan buku ini lebih banyak digunakan di sekolah maupun lembaga pendidikan formal.

Di berbagai lembaga pendidikan non-formal, buku tersebut juga biasa dimanfaatkan sebagai sarana pembelajaran. Keberadaan teks pembelajaran sangatlah penting sehingga banyak dimanfaatkan dan diprioritaskan sebagai pendamping pembelajaran supaya siswa dapat mengembangkan daya pikirnya sendiri. Tanpa buku semacam ini, siswa akan merasa kesulitan dalam belajar, baik di sekolah maupun secara mandiri.

Jadi, buku teks bisa juga dikatakan sebagai pegangan utama bagi peserta didik, baik dari jenjang dasar sampai perguruan tinggi ataupun dari sekolah negeri maupun swasta. Tak sekadar dipakai oleh peserta didik, buku teks juga penting untuk digunakan oleh para pendidik.

Para tenaga pendidik membutuhkn buku ini sebagai silabus. Ditambah lagi, buku ini memberikan panduan instruksional yang dapat mempermudah mereka dalam mengajar, jika tidak memiliki silabus.

Maka dari itu, buku jenis ini juga sangat dibutuhkan oleh para pendidik di Indonesia. Dalam Buku Guru Matematika SMA/MA KELAS 11 Peminatan kurikulum 2013 Revisi ini dibagi menjadi dua bagian, yakni petunjuk umum dan petunjuk khusus;

1. Petunjuk umum: Guru dapat memahami berbagai hal tentang proses pembelajaran ,mulai dari maksud dan tujuan ,struktur kompetensi inti dan kompetensi
2. Petunjuk Khusus: Buku ini berisi rangkaian kegiatan hari dalam proses pembelajaran di dalamnya terdapat berbagai hal yang berhubungan dengan proses pembelajaran.

3. Buku Interaktif: Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas 10

Deskripsi Buku

Di era sekarang ini, pemerintah sudah memberlakukan kurikulum baru yang dinamakan Kurikulum Merdeka. Kurikulum ini mulai diberlakukan dengan cara bertahap. Untuk tahun 2022, barus Kelas 10, 11, dan 12 yang menerapkan Kurikulum Merdeka.

Dalam penerapannya, sekolah bisa menerapkan beberapa prinsip serta bagian dari Kurikulum Merdeka bahkan tanpa mengganti Kurikulum Satuan Pendidikan. Hal tersebut berarti sekolah masih bisa memanfaatkan buku yang masih menggunakan Kurikulum 2013 untuk media pembelajaran. Meski demikian, buku yang dimanfaatkan untuk kegiatan pembelajaran tersebut wajib mengakomodasi beberapa bagian dari Kurikulum Merdeka, misalnya dengan menerapkan Proyek Profil Pelajar Pancasila.

Kurikulum Merdeka merupakan kurikulum yang menggunakan pembelajaran intrakurikuler dan beragam yang di mana konten akan menjadi lebih optimal supaya para peserta didik mempunyai cukup waktu untuk menguatkan kompetensi serta mendalami konsep. Guru mempunyai kebebasan untuk memilih seluruh perangkat ajar supaya pembelajaran bisa disesuaikan dengan minat maupun kebutuhan belajar dari peserta didik.

Buku Interaktif: Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas 10 akan menjadi pendamping yang paling sesuai untuk guru dan siswa melakukan pembelajaran menggunakan Kurikulum Merdeka.

4. Buku Saku Hafal Mahir Teori & Rumus Matematika Sma/Ma Kelas 10,11,12

Deskripsi Buku

Buku Saku Hafal Mahir Teori dan Rumus Matematika SMA/MA Kelas 10,11,12 adalah buku belajar yang lengkap dan praktis.

Buku ini berisi:

1. Ringkasan materi matematika Mulai dari materi Matematika SMA/sederajat kelas 10 sampai kelas 12.
2. Info penting dan informasi tambahan mengenai materi matematika yang wajib diketahui.
3. Contoh soal serta pembahasannya untuk menambah pemahaman mengenai materi matematika.
4. Latihan soal serta pembahasannya dengan tujuan untuk melatih pemahaman mengenai materi matematika.

Buku Saku Hafal Mahir Teori dan Rumus Matematika bisa dijadikan sebagai solusi belajar yang menyenangkan dan bisa dilakukan kapan pun dan di mana pun.

5. Jelajah Matematika SMA Kelas 12 Peminatan MIPA Kurikulum 2013 Revisi

Deskripsi Buku

Materi pelajaran berhitung atau matematika sudah dikenalkan pada anak bahkan semenjak usia prasekolah. Semakin tinggi jenjang kelas, tentu bahasan konsep matematika yang diajarkan menjadi semakin rumit. Tak sedikit pula siswa yang masih merasa sulit untuk memahami rumus dan penerapan hitungan matematika, terutama bagi siswa yang berada di jenjang SMA dengan tingkat kerumitan materi matematika yang cukup berat.

Sesungguhnya, konsep matematika cukup mudah jika siswa dapat memahami triknya, yakni ketekunan. Buku Jelajah Matematika SMA Kelas XII Peminatan MIPA Kurikulum 2013 Revisi ini hadir menjadi solusi daro pendalaman materi yang menjelaskan dengan rinci dan mudah dimengerti serta merangkum materi matematika dengan apik bagi jenjang SMA kelas XII di jurusan MIPA.