Mengenal Unsur-Unsur Lingkaran: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya

Unsur-Unsur Lingkaran – Kemanapun kamu pergi, Grameds pasti akan menemukan benda-benda yang berbentuk lingkaran. Dibanding bentuk bangun datar lainnya, lingkaran memang lebih mudah dikenali karena tidak mempunyai titik sudut. Nah, bicara tentang lingkaran apakah kamu tahu bahwa bangun datar ini mempunyai unsur-unsur yang membentuknya?  Yup, dalam ilmu matematika lingkaran ada karena unsur-unsur lingkaran.

Lebih jauh lagi, unsur-unsur ini bisa juga digunakan untuk menghitung luas hingga volume lingkaran. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang unsur-unsur dalam lingkaran. Jadi, siapkan tenaga dan pikiranmu karena kita akan mengupas pengertian, rumus, hingga contoh soalnya.

Pengertian Unsur-unsur Lingkaran

Untuk memahami apa itu unsur-unsur lingkaran, kamu harus mengetahui pengertian lingkaran terlebih dulu. Lingkaran sendiri, menurut ilmu matematik, merupakan kumpulan titik-titik yang membentuk sebuah lengkungan tertutup.

Titik-titik pada lengkungan ini mempunyai jarak yang sama pada suatu “titik tertentu”. Nah, “titik tertentu” di sini adalah yang disebut dengan pusat lingkaran. Jarak dari titik-titik ke pusatnya disebut jari-jari lingkaran.

Dari penjelasan ini, bisa disimpulkan bahwa titik pusat dan jari-jari merupakan unsur dari sebuah lingkaran. Keduanya berguna untuk menghitung luas dan volume lingkaran. Selain itu, masih ada beberapa unsur lingkaran lain. Berikut penjelasan lengkapnya:

• Titik pusat lingkaran.

Adapun yang dimaksud dengan titik pusat lingkaran merupakan sebuah titik yang posisinya ada di tengah lingkaran. Jarak antara titik pusat dengan semua titik yang ada di lingkaran akan selalu sama. Untuk membuktikan bahwa lingkaran mempunyai titik pusat yang jarak dengan titik lingkaran lainnya selalu sama, kamu bisa memanfaatkan sebuah jangka.

Caranya, buka jangka dengan jarak tertentu, kemudian letakkan jarum di satu titik pada selembar kertas. Setelah itu, tempelkan satu titik lainnya ke kertas dan gerakkan sesuai jalur. Dengan langkah ini, kamu akan membuat sebuah lingkaran sempurna. Jarak antara titik jangka yang tidak berubah membuktikan bahwa jarak titik pusat dengan titik lainnya selalu sama.

• Jari-jari lingkaran

Jari-jari lingkaran merupakan garis yang membentang dari titik pusat hingga ke lengkungan lingkaran bagian luar. Artinya jari-jari adalah jarak antara titik pusat dengan lengkungan lingkaran. Karena jaraknya selalu sama, berarti panjang jari-jari lingkaran juga akan selalu sama.

Pembuktiannya bisa dilakukan dengan menggambar sebuah lingkaran terlebih dulu. Selanjutnya beri titik pusat O dan titik A di lengkungannya. Setelah itu, hubungkan titik O dengan titik A. Garis lurus OA yang menghubungkan keduanya merupakan jari-jari lingkaran seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini:

• Diameter

Dalam sebuah lingkaran, kamu bisa menggambar satu garis lurus yang melewati titik pusat untuk menghubungkan dua titik di lengkungannya. Dalam ilmu matematika, garis ini disebut sebagai diameter lingkaran.

Contohnya, gambar sebuah lingkaran dengan titik pusat O, kemudian tentukan titik B dan C di lengkungan yang posisinya saling berhadapan. Selanjutnya buat garis lurus untuk menghubungkan titik B dan C lalu beri nama garis BC.

Coba perhatikan gambar berikut ini:

Pada lingkaran tersebut, ada empat buah garis, yaitu:

• Garis BC sebagai diameter
• Garis OA sebagai jari-jari
• Garis OC sebagai jari-jari
• Garis OB sebagai jari-jari

Dengan begitu, bisa disimpulkan bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari diameter atau diameter sama dengan dua kali jari-jari.

• Busur Lingkaran

Dalam sebuah lingkaran, ada dua buah garis yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lengkungan dan melewati titik pusat sehingga menghasilkan diameter. Kemudian ada juga garis yang menghubungkan dua titik pada lengkungan dan tidak melewati titik pusat sehingga menghasilkan busur.

Karena tidak melewati titik pusat, lingkaran yang mempunyai garis busur akan terbagi menjadi dua, yaitu lengkungan yang besar dan kecil. Nah, garis lengkung ini yang disebut sebagai busur lingkaran.

Busur besar adalah busur yang lebih panjang dari setengah keliling lingkaran, sebaliknya busur kecil panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. Biar lebih mudah, silakan gambar sebuah lingkaran dengan titik pusat O.

Setelah itu, tentukan titik A dan C di bagian lengkungannya, lalu hubungkan dengan sebuah garis. Lengkungan AC yang dibentuk oleh garis disebut sebagai busur lingkaran. Jika sudah, perhatikan gambar berikut ini:

Dalam lingkaran tersebut, ada garis BC, OB, OC, dan OA. Keempat garis ini menghasilkan tiga buah busur, yakni:

• Busur AC
• Busur Ab
• Busur BC

• Tali Busur Lingkaran

Tali busur lingkaran merupakan garis pada sebuah lingkaran yang menghubungkan dua buah titik pada lengkungan dan tidak melewati titik pusat. Agar lebih jelas lagi, coba perhatikan gambar lingkaran berikut ini:

Lingkaran tersebut mempunyai titik pusat O, kemudian ada titik A, B, dan C pada lengkungannya. Garis BC adalah diameter dan garis AC adalah tali busur.

• Juring lingkaran

Juring lingkaran merupakan luas daerah pada lingkaran yang dibatasi dengan dua garis jari-jari dan satu garis busur. Sama seperti busur, juring juga dibagi menjadi dua yaitu juring kecil dan juring besar. Juring kecil adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh jari-jari serta busur kecil, sementara juring besar adalah sebaliknya–daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan busur besar.

Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini:

Lingkaran ini memiliki titik pusat O dan titik B dan A di lengkungannya. Jika titik OA dan OB dihubungkan dengan garis lurus, maka akan tercipta busur AB. Nah, daerah yang dibatasi oleh lengkungan AB (yang diarsir) adalah juring kecil. Lalu daerah yang tidak diarsir adalah juring besar.

• Tembereng Lingkaran

Yang disebut tembereng lingkaran merupakan luas daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur serta busur. Oleh karena itu, tembereng juga mempunyai dua jenis, yaitu tembereng kecil dan besar.

Tembereng kecil adalah daerah dibatasi oleh busur kecil dan tali busur, sebaliknya tembereng besar dibatasi oleh busur besar dan tali busur. Perhatikan gambar berikut ini:

Lingkaran ini mempunyai titik pusat O serta titik A dan C pada lengkungannya. Jika titik A dan C dihubungkan dengan garis lurus, akan membentuk lengkungan AC (busur). Nah, daerah di tengah garis AC (tali busur) serta lengkungan AC (busur) adalah tembereng.

• Apotema Lingkaran

Unsur lingkaran yang terakhir adalah garis pendek yang menghubungkan tali busur dengan titik pusat lingkaran. Ini disebut sebagai Apotema Lingkaran. Biar kamu tak kebingungan, coba perhatikan gambar berikut ini:

Lingkaran tersebut mempunyai titik pusat O dengan titik A dan C pada lengkungannya. Jika titik A dan C dihubungkan dengan sebuah garis, akan membentuk tali busur. Untuk menemukan Apotema Lingkaran, cukup buat satu titik di tengah tali busur AC lalu tarik garis dari O ke D sehingga membentuk Apotema OD.

Agar Grameds bisa lebih memahami pengertian unsur-unsur lingkaran, maka kamu bisa membaca buku Hafal Mahir Teori dan Rumus Matematika SMP/MTs Kelas 7, 8, 9. Buku yang ditulis oleh Uly Amalia ini membahas tentang cara mempelajari rumus dan teori matematika dengan mudah dan cepat.

Rumus unsur unsur lingkaran

Unsur-unsur lingkaran bisa dihitung memakai rumus yang akan kamu pelajari di bagian ini. Rumus-rumus yang akan kamu pelajari, bisa digunakan untuk mencari panjang garis, luas garis, hingga besar sudut dari unsur-unsur nya.

Rumus jari-jari dan diameter lingkaran

Bicara tentang rumus jari-jari, ada dua persamaan yang bisa digunakan untuk menentukan panjangnya. Pertama memakai rumus keliling lingkaran yang menyatakan bahwa keliling adalah:

Jadi rumusnya bisa ditulis sebagai berikut:

Lalu untuk rumus luasnya adalah

Keterangan:

K= Keliling lingkaran

L = Luas lingkaran

r = Jari-jari

D = Diameter     

Selain itu, kamu juga bisa menggunakan rumus yang lebih mudah yaitu jari-jari sama dengan setengah keliling lingkaran.

Perubahan luas lingkaran jika jari-jari berubah

Luas sebuah lingkaran akan berubah jika ukuran jari-jarinya berubah. Contohnya, sebuah lingkaran berjari-jari r mengalami perubahan ukuran jari-jari menjadi r2 dengan r2 = n x r1. Untuk menghitung luasnya bisa menggunakan rumus:

Perubahan keliling lingkaran jika jari-jari berubah

Sama seperti luas, keliling lingkaran akan berubah jika ukuran jari-jarinya berubah. Misalnya, lingkaran berjari-jari r1 mempunyai keliling K1, ukuran jari-jarinya berubah menjadi r2 dengan r2 = n x r1, rumusnya adalah:

Rumus busur lingkaran

Jika kamu ingin mengetahui berapa panjang busur sebuah lingkaran, maka kamu harus mengetahui besar sudut dari 360 derajat serta rumus keliling lingkaran terlebih dulu. Setelah itu, kamu bisa menggunakan rumus:

Keterangan:

LB: Panjang Busur

alpha: Besar sudut busur

r: Jari-jari lingkaran

Rumus tali busur, apotema, serta hubungannya dengan jari-jari

Panjang tali busur serta apotema lingkaran mempunyai hubungan dengan jari-jari. Oleh sebab itu, keduanya bisa dihitung menggunakan teorema phytagoras. Biar lebih jelas lagi, coba perhatikan gambar berikut ini:

Ini adalah gambar hubungan jari-jari dengan apotema dan tali busur yang membentuk sebuah segitiga. Garis miring di segitiga (OA & OB) tersebut adalah jari-jari lingkaran, alasnya (AB) adalah tali busur, dan tingginya (OD) adalah apotema.

Karena kita akan memakai teorema phytagoras untuk perhitungannya, maka alas segitiga alias tali busurnya (AB) akan kita bagi dua dulu. Setelah itu, didapatkan bahwa jari-jari menjadi sisi paling panjang dari segitiga tersebut, sehingga kita bisa memakai rumus berikut ini:

Keterangan:

r: jari-jari

a: apotema

tb: tali busur

Rumus sudut pusat dan sudut keliling

Untuk memudahkan pembahasan rumus sudut pusat dan sudut keliling, coba perhatikan gambar lingkaran berikut ini:

Gambar tersebut adalah sebuah lingkaran yang sudah diberi sudut pusat dengan nama sudut AOC dan juga sudut keliling ABC. Jika sudut AOC memiliki besar 80 derajat, besar sudut keliling ABC nya adalah 40 derajat. Jika garis sudut keliling dengan sudut pusatnya berpotongan di kedua titik lingkaran yang sama, maka kamu bisa menggunakan rumus berikut untuk menghitungnya;

sudut p = 2 x sudut k

Keterangan:

p adalah pusat

k adalah keliling

Rumus juring dan tembereng

Rumus juring mempunyai hubungan yang erat dengan luas tembereng karena tanpa ada rumus juring luas tembereng tidak akan ditemukan. Lalu bagaimana rumus juring? Karena juring adalah sebagiannya bentuk lingkaran, maka luasnya sama dengan besar sudut juring x luas lingkarannya atau:

Keterangan:

A: Luas juring

alpha: Besar sudut juring

r: Jari-jari lingkaran

Setelah rumus juring ditemukan, kamu akan lebih mudah menghitung luas temberengnya. Namun ingat, luas tembereng dibagi jadi dua jenis. Berbeda dengan rumus juring yang bisa dipakai untuk juring kecil dan besar.

Rumus untuk menghitung tembereng kecil adalah luas juring – luas segitiga yang ada di dalamnya. Lalu rumus untuk menghitung tembereng besar adalah luas juring + luas segitiga di luar juring. Supaya lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini:

Gambar ini adalah luas tembereng kecil, untuk menghitungnya bisa menggunakan rumus:

Sementara untuk menghitung tembereng besar, kamu bisa memakai rumus di bawah ini:

Keterangan:

A: Luas tembereng

alpha: Besar sudut jaring

a: Apotema

r: Jari-jari lingkaran

t: tali busur

Hubungan antara sudut pusat, juring, dan panjang busur

Sudut pusat, juring, dan panjang busur memiliki hubungan yang bisa dihitung dengan rumus khusus. Biar lebih jelas, silakan perhatikan gambar di bawah ini:

Dalam lingkaran tersebut ada juring AOB dan COD, serta busur AB dan CD. Hubungan keempatnya bisa digambarkan dengan rumus berikut ini:

Lalu hubungan antara busur dengan juring yang sudut pusatnya sama adalah:

Jika membahas tentang rumus unsur-unsur matematika memang tidak cukup hanya dalam 1 artikel ini saja. Nah, bagi kamu yang ingin mempelajarinya lebih jauh lagi, maka bisa membeli buku Rumus Rumus Praktis Matematika SMP/MTS Kelas 7, 8, 9. Buku ini juga dilengkapi dengan contoh soal yang akan membuat kamu lebih mudah dalam memahami suatu materi.

Contoh Soal Unsur-unsur Lingkaran

Banyak yang bilang, belajar matematika tanpa mengerjakan contoh soal sama saja bohong. Sebab teori atau rumus-rumus yang sudah dibaca bisa cepat menghilang karena hafalan tidak bertahan lama. Mengerjakan contoh soal membantu otakmu mengingat suatu rumus dan penyelesaiannya dengan baik.

Oleh karena itu, di bagian terakhir ini kita akan membahas tentang beberapa contoh soal unsur-unsur lingkaran dan penyelesaiannya. Simak baik-baik, ya!

Soal 1

1.

sumber: Taktis Belajar Matematika untuk SMP/MTs

Perhatikan gambar lingkaran di atas. Daerah yang merupakan tembereng ditunjukkan oleh:

1. I
2. II
3. III
4. IV

Pembahasan: 

Menurut gambar lingkaran yang ada pada soal nomor satu, bagian-bagian yang diberi nomor adalah:

• I adalah tembereng
• II adalah juring POR yang dikurangi daerah tembereng PR
• II dan IV adalah juring

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Soal 2

Diketahui sebuah lingkaran mempunynai luas 314 cm2, keliling lingkarannya adalah… cm.

A. 6,28

B. 10

C. 31,4

D. 62, 8

Dengan demikian, keliling lingkaran adalah 62,8 cm dan jawaban yang tepat adalah D.

Soal 3

3. Sebuah lingkaran yang memiliki luas 40 cm2 ukuran jari-jarinya berubah menjadi 3 kali ukuran semula, maka luasnya berubah menjadi…

Pembahasan: 

Diketahui L₁ = 40 cm2

r₂ = 3r₁

L₂ = n₂L₁ -> L₂ = 3² . 40 cm²

L₂ = 9.40 cm²

L₂ = 360 cm²

Jadi, luas lingkarannya berubah menjadi 360 cm².

Soal 4

Apabila perbandingan antara luas dua lingkaran adalah 4:9, maka perbandingan keliling kedua lingkaran tersebut adalah:

A. 1:2

B. 2:3

C. 2:4

D. 2:7

Pembahasan:

Perbandingan keliling dua lingkaran tersebut adalah

Jadi, jawaban untuk pertanyaan keempat adalah B.

Soal 5

Perhatikan gambar lingkaran di atas.

Jika luas juring COD pada lingkaran tersebut adalah 462 cm2 maka besar sudut COD adalah…

1. 100 derajat
2. 120 derajat
3. 130 derajat
4. 140 derajat

Jadi, jawaban untuk nomor lima adalah B.

Jika ingin mengetahui berbagai macam soal tentang unsur-unsur matematika lainnya kamu bisa membaca buku Top Sukses Update Bank Soal: Pembahasan Matematika SMP kelas 7, 8, 9. Di dalam buku ini ada berbagai macam contoh soal yang bisa kamu pelajari. Selain itu, buku ini juga akan memberikan penjelasan setiap jawaban, sehingga kamu akan lebih mudah dalam memahami materinya. Tertarik memiliki buku ini?

Demikian pembahasan tentang unsur-unsur lingkaran. Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat untuk Grameds. Jika ingin mendapatkan rekomendasi buku di atas, kamu bisa mendapatkannya di gramedia.com.

Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Gilang Oktaviana

Sumber:

• https://www.liputan6.com/hot/read/4560516/mengenal-unsur-unsur-lingkaran-dalam-ilmu-matematika-lengkap-beserta-penjelasannya
• https://luqscience.blogspot.com/2016/03/menentukan-perhitungan-unsur-unsur.html
• Bob Foster & Joko Sutrisno (2019), Taktis Belajar Matematika untuk SMP/MTs
• Gusmalinda, S.Pd, Rencana Perangkat Pembelajaran (RPP) Luring Kelas VI Matematika Unsur-unsur Lingkaran.